Vorlesungen über die neuere Geometrie

Vorlesungen über neuere Geometrie.- § 1. Von der geraden Linie.- § 2. Von den Ebenen.- § 3. Vorn Strahlenbüschel.- § 4. Vom Ebenenbüschel.- § 5. Vom Strahlenbündel.- § 6. Ausgedehntere Anwendung des Wortes „Punkt“.- § 7. Ausgedehntere Anwendung des Wortes „Gerade“.- § 8. Ausgedehntere Anwendung des Wortes „Ebene“.- § 9. Ausgedehntere Anwendung des Wortes „zwischen“.- § 10. Perspektive Figuren.- § 11. Harmonische Gebilde.- § 12. Von der Reziprozität.- § 13. Von den kongruenten Figuren.- § 14. Ausdehnung der Kongruenz auf beliebige Elemente.- § 15. Herleitung einiger graphischen Sätze.- § 16. Projektive einförmige Gebilde.- § 17. Kollincare Figuren.- § 18. Reziproke Figuren.- § 19. Kongruente Figuren in der eigentlichen Ebene.- § 20. Die absoluten Polarsysteme.- § 21. Doppelverhältnis.- § 22. Koordinaten.- § 23. Die stetige Zahlenreihe in der Geometrie.- Die Grundlegung der Geometrie in historischer Entwicklung.- A. Anfang.- B. Hauptpunkte der Entwicklung.- Parallelenaxiom. Stetigkeitsvoraussetzungen. — Projektive Geometrie. — Vollständige Axiomsysteme. — Mathematik und Logik.- Erstes Kapitel. Das Parallelenpostulat.- § 1. Das Postulat und ihm äquivalente Voraussetzungen.- § 2. Erste Fortschritte über Euklid.- § 3. Die Begründung der Geometrie ohne Parallelenpostulat durch Lobatschewskij und Bolyai.- § 4. Differentialgeometrische Untersuchungen. Riemann und Helmholtz.- § 5. Unmöglichkeit, das Parallelenpostulat zu beweisen.- Flächen konstanter Krümmung. Cayleysche Maßbestimmung.- § 6. Die nichteuklidischen Raumformen.- Zweites Kapitel. Grundlegung der projektiven Geometrie.- § 1. Projektive und nichteuklidische Geometrie.- § 2. Gliederung der grundlegenden Sätze in der projektiven Geometrie.- I. Das rationale Netz und seine Erweiterung.- a) elementargeometrisch, b) projektiv.- II. Rechnung mit Streckenverhältnissen auf Grund der Sätze von Desargues und Pascal.- Dehnung und Schiebung. — Dehnungsgrößen. — Rechnungsgesetze. — Analytische Geometrie. — Desarguesscher und Pascalscher Satz folgen aus dem Fundamentalsatz der projektiven Geometrie. — Desarguesscher Satz und Fundamentalsatz folgen aus dem Pascalschen Satz. — Übersicht.- § 3. Beweis der grundlegenden Sätze der projektiven Geometrie.- Desarguesscher Satz. — Pascalscher Satz mit und ohne Benutzung des Raumes resp. des Parallelenpostulates.- § 4. Die Form der Sätze der projektiven Geometrie. Das Dualitätstheorem.- Drittes Kapitel. Die Stetigkeit.- § 1. Das Stetigkeitspostulat bei Euklid und Archimedes.- § 2. Nichtarchimedische Geometrien.- Zahlsysteme. a) Ein nichtarchimedisches Zahlsystem. — b) Ein nichtprojektives Zahlsystem. — c) Nichtarchimedische Raumformen. — d) Archimedisches Postulat und Parallelenpostulat.- Viertes Kapitel. Systeme von Postulaten.- § 1. Die Postulate in Euklids Elementen.- § 2. Vollständige Axiomsysteme.- § 3. Infinitesimalgeometrische Axiomsysteme.- § 4. Beziehung der Axiome untereinander.- 1. Unabhängigkeit der Axiome voneinander. — 2. Gültigkeit von Postulaten vermittels Konstruktion. — 3. Widerspruchslosigkeit der Axiomsysteme. — Verfahren der vollständigen Induktion.- Fünftes Kapitel. Inhaltslehre.- § 1. Postulate der Inhaltslehre.- Abhängigkeit der Postulate voneinander.- § 2. Die Lehre vom Polygoninhalt.- Topologische Voraussetzungen. — Inhaltsmaß.- § 3. Die Rechnung mit Inhaltsgrößen im Vergleich zu der Rechnung mit Streckenverhältnissen.