Untersuchungen über die Fourier-Tschebyscheff-Approximation von Stammfunktionen

Die numerische Quadratur zählt heute mit zu den häufigsten Aufgaben der praktischen Mathematik und taucht in fast allen Bereichen der Wissenschaft und Technik auf. In den letzten zwanzig Jahren sind zu den klassischen Quadraturverfahren eine ganze Reihe von neuen Quadraturverfahren hinzugekommen, so z. B. das Verfahren von LOTKIN, das Verfahren von RrcHARDSON-ROMBERG, das Verfahren von RrcHARDSON­ BuLIRSCH-STOER, eine Reihe vonneuenG Auss-Typ-Quadraturformeln und verschiedene HERMITEsche Quadraturformeln u. a. m. (Näheres vgl. [8; 10; 10.1; 10.3; 10.7 und 10.9].) Diese umfangreiche Entwicklung von neuen Quadraturverfahren wurde einerseits durch den in den letzten zwanzig Jahren exponentiell angewachsenen Einsatz von elektroni­ schen Datenverarbeitungsanlagen in allen Bereichen der numerischen Mathematik aus­ gelöst. Andererseits bilden gerade die verschiedenen Quadraturverfahren die Basis der wirksamsten numerischen Methoden zur Lösung von Anfangswert-, Randwert- und Eigenwertaufgaben bei gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen sowie bei Problemen aus dem Bereich der Integral-, Integro-Differential- und Funktional­ gleichungen. Die Verwendung von elektronischen Rechenanlagen zur Lösung von Quadratur­ problemen hat außerdem eine vollkommen neue Bewertung der klassischen Quadratur­ verfahren mit sich gebracht. Die üblichen Quadraturverfahren erlauben nur eine schrittweise Integration und führen nach sukzessiven numerischen Quadraturen des Integranden über angrenzende Teil­ intervalle im Integrationsintervall [a, b] auf eine diskontinuierliche Wiedergabe der Stammfunktion. Die in dieser Arbeit behandelten Verfahren liefern dagegen einen hand­ lichen analytischen Näherungsausdruck für die gesuchte Stammfunktion, welcher die Berechnung beliebiger Funktionswerte der Stammfunktion aus [a, b] ohne Tafelinter­ polation gestattet und stellt darüber hinaus eine FouRIER-TscHEBYSCHEFF-Approxima­ tion der Stammfunktion über einer finiten Integrationsbasis dar.